Mathematik

Eine Zahl ist nicht einfach ein Zahl; es gibt spezielle und weniger spezielle Zahlen. So gibt es zum Beispiel die natürlichen Zahlen, die man mit den Fingern abzählen kann, die rationalen Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, oder auch irrationale Zahlen, dessen Nachkommastellen nie aufhören und auch nie periodisch werden. Es gibt sogar sogenannte imaginäre Zahlen, die dann nicht mehr auf der Zahlengerade liegen, sondern irgendwo daneben.

Möchte man ein Problem mathematisch lösen, kann man versuchen, die gesuchte Grösse als Variable auszudrücken und den Zusammenhang mit den bekannten Grössen als Gleichung darzustellen. Dabei kann es sein, dass die gesuchte Grösse quadriert wird und das Problem zwei verschiedene Lösungen hervorbringt. Oder das Problem hat etwas mit einer Schwingung oder einem sich wiederholenden Phänomen zu tun, sodass man eine sogenannte trigonometrische Funktion für die Lösung heranziehen muss, die dann unendlich viele Lösungen hervorbringen kann. Es könnte auch sein, dass man mehrere Gleichungen aufstellt, die gleichzeitig erfüllt werden müssen und man ein System von Gleichungen erhält.

Aus der Sekundarschule sind bereits einfache geometrische Berechnungen bekannt, in denen zum Beispiel ein Winkel berechnet werden muss. Im Gymnasium wird die Berechnung an Figuren mit Hilfe der sogenannten Trigonometrie vertieft und ausgebaut. Zusätzlich kommt die Vektorgeometrie dazu. Diese erlaubt es, dreidimensionale Geraden, Ebenen und Kugeln mathematisch auszudrücken. So lassen sich zum Beispiel die Koordinaten eines Schnittpunktes oder die Richtung eines an einer Kugel reflektierten Lichtstrahls berechnen.

Viele Abläufe in der Natur und Technik können als Zahlenfolgen aufgefasst werden. Beispiele sind Populationsgrössen in der Biologie oder der radioaktive Zerfall in der Physik. Im Gymnasium werden zwei spezielle Typen von Folgen genauer untersucht. Einerseits Folgen, bei welchen die Differenz von der einen Zahl zur nächsten immer gleich ist (z.B. 3,7,11,15..) und andererseits Folgen, bei welchen der Quotient von einer Zahl und der nächsten immer gleich ist (z.B. 1,2,4,8,16...).

Einfache und mehrstufige Zufallsexperimente spielen eine zentrale Rolle in diesem Bereich. Ebenso wird die bedingte Wahrscheinlichkeit genauer betrachtet. Das Thema Wahrscheinlichkeit wird bei uns im Referatesystem (ähnlich der Vorlesung an der Uni/ETH) unterrichtet. Dabei werden die gehörten Inhalte in Übungen angewandt und besprochen. 

In der Analysis im dritten und vierten Jahr werden Funktionen genauer untersucht. Dabei wird zum einen in der Differentialrechnung die Steigung einer Funktion genauer untersucht und in der Integralrechnung die Fläche unter einer Funktionskurve. Dabei ergeben sich verblüffende Resultate und ein grosses Gebiet von Anwendungsbereichen.

Aufbauend auf dem Grundlagenfach werden weitere Themen aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung behandelt und in die Statistik mit ihren wichtigen Anwendungen eingeführt.

In verschiedenen Ländern wurde z.B. die Grösse der Storchpopulation mit der Geburtenzahl vergli­chen. Das Ergebnis: Je mehr Störche, desto mehr Geburten.

Die Interpretation und vor allem Schlussfolgerungen aus solchen Zusammenhängen sind aber oftmals schwierig und heikel.

Es gibt quadratische Gleichungen, die in den reellen Zahlen unlösbar sind. Das einfachste Beispiel ist x² = –1. Die Menge der reellen Zahlen lässt sich aber erweitern zur Menge der komplexen Zahlen. In dieser Zahlmenge hat nun jede Gleichung Lösungen. Anwendungen finden die komplexen Zahlen auch in den Naturwissenschaften.

In einem durch Chemikalien verschmutzten See fliesst verschmutztes Wasser ab und gleichzeitig sauberes Wasser hinein. Wie schnell verändert sich dadurch die Wasserverschmutzung im See? Oder: Wie ändert sich z.B. die Bewegungsgleichung eines Pendels, wenn es in Wasser anstatt in der Luft schwingt?

Solche und ähnliche Prozesse werden mathematisch mit Differentialgleichungen modelliert. Diese spielen bei der Beschreibung aller Situationen eine Rolle, bei welchen der momentane Zu­stand eines Systems die Tendenz seiner Veränderung mitbestimmt. Weil das in sehr vielen Situationen der Fall ist, sind Differential­gleichun­gen ein ebenso nützliches wie wichtiges Instrument.

Eigentlich sind Matrizen nur eine rechteckige Anordnung von Zahlen. Doch ihre Anwendungen sind zahlreich und sehr nützlich.

So kann man mit ihnen grosse Gleichungssysteme ein­fach lösen, geometrische Abbildungen (z.B. Drehungen, Streckungen, …) algebraisch darstellen oder Produktionsvorgänge beschreiben, bei denen man die Endprodukte in Abhängigkeit der Rohstoffe kennt. Man verwendet sie sogar dazu, Texte zu verschlüsseln und wieder zu entschlüsseln.